Définition

Soient \(m\), \(n\) et \(p\) trois entiers naturels non nuls
Soient \(A\) une matrice de format \(m\times n\) et \(B\) une matrice de format \(n\times p\)
Le produit de \(A\) par \(B\), noté \(AB\), est la matrice de format \(m\times p\) dont les colonnes correspondent au produit de \(A\) par chacune des colonnes de \(B\)
Pour touts entiers naturels \(i\) et \(j\), avec \(1\leqslant i\leqslant m\) et \(1\leqslant j\leqslant p\), le coefficient à la ligne \(i\) et à la colonne \(j\) de \(AB\) est égal au produit de la somme des coefficients à la \(i\)ème ligne de \(A\) par la somme des coefficients à la \(j\)ème colonne de \(B\), ie $$\sum^m_{k=1}a_{i,k}\times b_{k,j}$$
(Matrice, Ensemble des entiers naturels, Matrice, //Produit scalaire)
Produit matriciel : $$(AB)_{i,j}={{\sum_kA_{ik}B_{kj} }}$$

Propriétés

! Non commutativité du produit matriciel : \(AB\neq BA\) (Commutativité - Symétrie)
Le produit de deux matrices peut être égal à la matrice nulle sans qu'aucune des deux matrices soit la matrice nulle (Matrice nulle)

• associativité du produit matriciel : \(A\times B\times C=(A\times B)\times C=A\times(B\times C)\)
• distributivité du produit matriciel sur l'addition de deux matrices : \(A\times(B+C)=A\times B+A\times C\) et \((A+B)\times C=A\times C+B\times C\)
• \((kA)\times B=A\times (kB)=k(A\times B)\)

(Associativité, Distributivité)

Produits matriciels particuliers

Matrice triangulaire (Produit de matrices triangulaires)

Produit avec la matrice identité

Multiplication par la matrice identité : $$A\times I_n=I_n\times A=A$$ (Matrice identité - Matrice unité)

Produit avec un vecteur

Cas particulier : $$\begin{pmatrix}a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3\\ c_1&c_2&c_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\end{pmatrix}={{x_1\begin{pmatrix}a_1\\ b_1\\ c_1\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}a_2\\ b_2\\ c_2\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}a_3\\ b_3\\ c_3\end{pmatrix} }}$$

Produit de deux matrices carrées par blocs

Si le nombre de colonnes du bloc \(A\) est égal au nombre de lignes du bloc \(A'\) (et idem pour les autres blocs), alors on a : $${{\left(\begin{array}{c|c}A&B\\ \hline C&D\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c|c}A'&B'\\ \hline C'&D'\end{array}\right)}}={{\left(\begin{array}{c|c}AA'+BC'&AB'+BD'\\ \hline CA'+DC'&CB'+DD'\end{array}\right)}}$$
(Matrice carrée par blocs)

Produit de deux matrices carrées par blocs avec un bloc nul

Si le nombre de colonnes du bloc \(A\) est égal au nombre de lignes du bloc \(A'\) (et idem pour les autres blocs), alors on a : $${{\left(\begin{array}{c|c}A&B\\ \hline 0&D\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c|c}A'&B'\\ \hline 0&D'\end{array}\right)}}={{\left(\begin{array}{c|c}AA'&AB'+BD'\\ \hline 0&DD'\end{array}\right)}}$$

Notions liées

Matrice carrée
Matrices commutatives
Matrice inversible, Matrice inverse
Produit de matrices d'applications linéaires

Flashcards

START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Ecrire la formule pour \((Ax)_i\).
Verso: $$(Ax)_i=\sum_{j=1}^nA_{ij}x_j$$
Bonus:
Carte inversée ?:
END
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Ecrire la formule pour \(C_{ij}=(AB)_{ij}\).
Verso: $$C_{ij}=\sum_{k=1}^nA_{ik}B_{kj}$$
Bonus:
Carte inversée ?:
END